Llevat de
En matemàtiques, el terme llevat de indica que l'objecte gramatical és una classe d'equivalència, que hom ha de considerar com una entitat simple. Si aquest objecte és una classe de transformacions (com per exemple "isomorfisme" o "permutació"), això implica l'equivalència d'objectes, un dels quals és la imatge de l'altre per aquesta transformació.[1]
Si X és una propietat o un procés, el terme "llevat de X" vol dir "descartant una possible diferència en X". Per exemple, podem tenir l'afirmació "la factorització en nombres primers d'un enter és única llevat d'ordenacions", la qual cosa vol dir que la factorització en nombres primers és única si no tenim en compte l'ordre dels factors; o també podem dir que "la solució a una integral indefinida és f(x), llevat de sumar una constant", la qual cosa vol dir que la constant sumada no és l'objecte d'estudi, sinó la solució f(x), i que l'addició de la constant és un objectiu secundari d'estudi. En tenim altres exemples a les expressions llevat d'isomorfisme, llevat de permutacions o llevat de rotacions, que veurem més endavant.
En contextos informals, els matemàtics acostumen a emprar el terme mòdul (o simplement "mod") per propòsits similars, com per exemple "mòdul un isomorfisme".[2]
Exemples
[modifica]Tetris
[modifica]
Un exemple senzill és "hi ha set tetròminos reflectors, llevat de rotacions", que fa referència als set possibles arranjaments de tetrominòs (col·leccions de quatre quadrats unitaris connectats per almenys un costat), i que hom acostuma a relacionar amb les set peces del joc Tetris (I, L, J, O, S, T i Z). També podríem haver escrit que "hi ha cinc tetrominòs, llevat de reflexions i rotacions", per ressaltar que podem pensar que L i J són la mateixa peça, reflectida, així com S i Z. El joc de Tetris no permet reflexions, i per això la primera afirmació sembla més natural.
No hi ha una notació formal pel comptatge exhaustiu. Tot i això, és normal veure "hi ha set tetròminos reflectants (=19 en total) llevat de rotacions". En aquest sentit, Tetris ens dona un exemple excel·lent, perquè un lector podria comptar simplement 7 peces * 4 rotacions = 28, però hi ha algunes peces (com el quadrat 2x2 –la peça O–) que tenen menys de quatre estats de rotació.
Vuit reines
[modifica]
En el problema de les vuit reines, si considerem les vuit reines com a diferents, hi ha 3.709.440 solucions diferents. Tot i això, normalment es considera que les vuit reines són idèntiques, i hom acostuma a dir que "hi ha 92 (= 3.709.440/8!) solucions úniques llevat de permutacions de les reines", o que "hi ha 92 solucions mòdul els noms de les reines", la qual cosa vol dir que dos arranjaments diferents de les reines es consideren equivalents si hi ha hagut una permutació de les reines, però ocupen les mateixes caselles de l'escaquer.
Si, a més de tractar les reines com idèntiques, permetem rotacions i reflexions del tauler, tindríem només 12 solucions diferents llevat de simetria, la qual cosa vol dir que hom considera equivalents dos arranjaments que són simètrics l'un de l'altre.
Teoria de grups
[modifica]En Teoria de grups, per exemple, podem tenir un grup G que actua sobre un conjunt X; en aquest cas diem que dos elements de X són equivalents "llevat de l'acció del grup" si estan a la mateixa òrbita.
Un altre exemple típic és l'afirmació que "hi ha dos grups diferents d'ordre 4 llevat d'isomorfisme", o "mòdul isomorfisme" hi ha dos grups d'ordre 4". Això vol dir que hi ha dues classes d'equivalència de grups d'ordre 4, si considerem equivalents aquells grups isomorfs.
Anàlisi no estàndard
[modifica]Un nombre hiperreal x i la seva part estàndard st(x) són iguals llevat d'un infinitesimal.[3]
Vegeu també
[modifica]
Referències
[modifica]- ↑ Jean-Pierre Ramis; André Warusfel. Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. 2. Dunod, 2014, p. 62. ISBN 978-2-10-071392-9.
- ↑ Nachbin, Leopoldo. Introducción al álgebra. Reverté SA, 1980, p. 76. ISBN 84-291--5099-4.
- ↑ Damien Pous, Up-to techniques for weak bisimulation, Proc. 32th ICALP, Lecture Notes in Computer Science, vol. 3580, Springer Verlag (2005), pp. 730–741
Bibliografia
[modifica]- Nachbin, Leopoldo. Introducción al álgebra. Reverté SA, 1980, p. 76. ISBN 84-291--5099-4.
- Castelet, Manuel, Llerena, Irene. Álgebra lineal y geometría. Reverté, 1996. ISBN 84-291-5009-9.